| 초록 |
□ 연구개요 본 연구과제는 대수기하학 또는 물리학의 끈이론 등에서 중요한 연구대상인 K3 곡면의 자기동형사상에 관한 연구이다. 이번 연구과제 기간동안에 고등과학원 수학부 교수이고 대한수학회 회장인 금종해 교수님과 동경대 수학과 연구원인 하시모토 겐지 박사와 이에 대한 연구 결과로 한 편의 논문을 작성, 출판하였다. K3 곡면의 자기동형사상에 관한 연구는 Torelli 정리에 의해 격자이론의 연구로 귀결된다. 우리는 이번 연구기간에 Torelli 정리와 정수론의 class number 이론을 이용하여 무한 자기동형사상의 Salem 다항식을 결정하였다. 논문은 ‘K3 surfaces with Picard number 2, Salem polynomials and Pell equation“라는 제목으로 Journal of Pure and Applied Algebra 에 게재 승인되었다. □ 연구 목표대비 연구결과 1. Enriques 곡면의 자기동형사상으로부터 유도되는 K3 곡면의 자기동형사상 분류 2. 1에서 주어진 자기동형사상의 불변하는 공간 분류 3. K3 곡면의 자기동형사상의 Salem number 연구 4. K3 곡면의 Hilbert scheme 의 자기동형사상 연구 등이다. 이번 연구기간 동안 우리는 3번의 연구에서 의미있는 결과를 얻어 논문을 게재하였고 현재 이 결과의 후속연구를 진행중이다. 또한 1과 4의 연구에서 동경대 하시모토 겐지 박사와 연구에 진전이 있었고 추가로 공동연구중이다. 구체적으로 1에서 우리는 이번 연구기간 동안에 공동연구를 통해 수학적인 증명은 완성되었다고 의견을 같이 하였고 최종 논문 수정을 남겨두고 있다. 또한 4의 경우 동경대 오기소 교수님과의 토론을 통하여 hyperbolic 기하를 이용하는 아이디어를 이용하여 연구를 마지막 단계에서 진행중이다. 2의 경우는 많은 경우 분류를 하였는데 연구기간중에 1의 결과에 약간의 수정한 부분이 생겨 이것에 대하여 추가로 연구를 진행중이다. □ 연구개발결과의 중요성 위상수학에서 정의된 위상적 엔트로피는 Gromov-Yomdin의 정리에 의해 dynamical degree (또는 Salem number)와 같다는 것이 알려져있다. 이 정리로부터 계산이 어려웠던 위상적 엔트로피를 구하는 대신 다양체의 어떤 격자로부터 eigenvalue를 구하는 문제로 귀결되었다. 이후에 2000년대 초부터 하버드 수학과 McMullen 교수, 동경대 오기소 교수 등에 의하여 K3 곡면의 자기동형사상의 Salem number를 계산 하는 등의 dynamic 부분의 연구가 활발히 진행중에 있다. 우리의 이번 연구 결과는 어떤 K3 곡면의 자기동형사상의 Salem number를 계산하였고 또한 이러한 연구로 Salem number 의 특성을 연구하는데 기여할 수 있을 것으로 기대한다. (출처 : 연구결과 요약문 2p) |
