| 초록 |
1차년도 연구 목표인 양자 확률과정의 연구를 위하여 우선, C*-대수 위에서 정의된 사상 Φ와 힐버트 C*-모듈위에서 정의된 Φ-사상인 φ에 대하여 연구하였다. 우선 두 사상들의 쌍(Φ.φ)에 associated된 힐버트 C*-모듈위의 표현을 구성하고, 그것의 Stinespring type의 공변 표현을 구성하였다. 이를 이용하여 이러한 사상들의 family의 쌍({Φ t },{φ t })에 의해 induce되는 양자 확률 과정을 구축하였다. 이러한 Φ-사상들의 family들 중에서 주어진 양자 동력 반군 Φ={Φ t }에 대하여 Φ-사상이 되는 양자 동력 반군 φ={φ t }을 Φ-양자 동력 반군이라 부르고, 이러한 Φ-양자 동력 반군으로 구성된 양자 확률과정 J={J t }은 주어진 양자 동력 반군 Φ={Φ t }으로부터 구성된 양자 확률 과정 j={j t }에 대하여 다시 j-사상이 됨을 보였다. 또한, 이미 구성된 확률과정 J={J t }가 공변이 될 필요조건은 Φ-양자 동력반군 φ={φ t }이 공변임을 증명하였다. 위의 결과들은 서로 다른 system에 존재하는 양자 동력 반군들에 대하여 새로운 양자 확률과정을 구성하였고, 또한 구성된 양자 확률과정도 다른 system에 있는 양자 확률 과정과 관련됨을 보였다. 2차년도의 연구에서는 1차년도의 선행연구에서 구축된 힐버트 공간에서의 표현을 공변인 α-완전 양선형 사상으로부터 클라인 C*-모듈위의 KSGNS 타입 공변 표현을 구축하였다. 이 결과를 활용하여 C*-대수 위의 α-완전 양선형 사상 Φ와 클라인 C*-모듈 위의 공변인 Φ-사상 φ로 이루어진 두 사상의 쌍(Φ,φ)에 대하여 클라인 C*-모듈 위의 KSGNS 타입 공변 표현을 구축하였다. 또한 힐버트 C*-모듈의 cross product를 소개하고, C*-대수의 cross product에서 정의된 J-표현과 이산군에 의한 힐버트 C*-모듈의 cross product 위에서 새로운 공변 표현을 구축하였다. 이를 위해 α-완전 양선형 사상의 C*-대수의 cross product 위로의 확장을 사용하였다. 힐버트 C*-모듈 구조를 바탕으로 이 논문에서 양자 동력 반군으로부터 안정된 단조 양자 마코프 과정을 구축하고 그에 대한 성질에 대하여 연구하였다. 이 논문의 연구결과는 다음 두 가지 면에서 주요성을 강조할 수 있다. -양자 동력 반군으로부터 구축한 안정된 양자 확률과정은 양자 확률론에서 중요하게 다루어지고 있는 여러 독립성 중에서 단조 독립성을 만족한다. -공변 양자 동력 반군으로부터 구축한 안정된 양자 확률과정은 적당한 유니타리 표현에 대하여 다시 공변이다. 3차년도에서는 양자 측정이론 및 양자 도구이론에 관해 연구를 하였다. 이 연구에서는 완전 양선형 사상으로 이루어진 양자 도구가 아니라 α-완전 양선형 사상으로 이루어진 양자 도구 이론 및 양자 측정 이론에 대하여 연구하였다. 그리고 그 결과를 활용하여 국소 양자장론 연구에 필요한 방법이나 이론을 새로운 방법을 개발하였다. 이를 바탕으로 양자 도구 이론과 결합된 양자 확률론 연구를 통하여 양자 동력 hemigroup을 연구하고, 작용소 대수나 작용소 공간 이론과 결합된 양자 측정이론 및 양자 도구이론의 새로운 프레임워크를 구축하였다. 본 연구를 통해서 양자 확률 과정의 중요한 구조적인 성질들을 규명함으로써 이 연구결과들이 양자 확률 해석학의 연구에 유용하게 활용될 것으로 기대한다. |
