| 초록 |
본 연구에서는 저온 기체 및 이와 관련된 현상을 기술하는 수리물리학적 모형을 주 연구대상으로 삼았으며, 크게 1) 평균장 모형에서 비선형 하트리 방정식으로의 수렴성 정도에 대한 연구 및 2) 랜덤 행렬에서의 고유치 분포에 관한 연구를 진행하였다. 평균장 모형에 관한 연구에서는 입자간의 상호작용이 거리에 반비례하는 경우, 파동함수가 비선형 하트리 방정식의 해로 수렴하는 정도에 관한 연구를 진행하였으며, 이 문제에서 예상되는 최적의 결과를 증명하는 데에 성공하였다. 또한, 이 연구 결과를 응용하여 보즈 입자로 이루어진 항성(Boson star)에 대한 상대론적 분석을 통해 상대론적 비선형 하트리 방정식으로의 수렴성 정도를 연구하는 과제도 완성되었다. 랜덤 행렬에서의 고유치 분포에 관한 연구에서는 주로 랜덤 행렬의 가장 큰 고유치의 분포, 이른바 끝 보편성(edge universality) 및 이와 관련된 연구를 진행하였다. 특히, 위그너 행렬(Wigner matrix)로 알려진 랜덤 행렬이론에서 가장 기본이 되는 행렬에서 끝보편성이 성립할 조건에 대한 난제를 해결하였다. 한편, 변형 위그너 행렬(deformed Wigner matrix)에 대한 연구 또한 진행 중이며, 일부 결과는 논문으로 출간되기도 하였다. 랜덤 행렬이론에 대한 연구는 변형 위그너 행렬 및 이와 유사한 여러 랜덤행렬 모형으로 확장되어 진행될 예정이다. 본 연구를 통해 관련 문제들에 대한 최적의 결과를 얻어내는 데에 성공하였으며, 이 결과들은 수리물리학 및 확률론의 발전에 큰 기여를 하였다. 특히, 본 연구의 후기 단계에서 진행한 랜덤 행렬 이론 모형은 현재 수학 뿐만 아니라 물리학, 통계학, 전자공학 등 여러 분야에서 경쟁적으로 연구가 이루어지고 있다. 본 연구를 통해 본 연구자는 랜덤 행렬 이론 연구를 세계적으로 이끌어나갈 수 있는 역량을 확보하였으며, 이를 통해 이론적 연구의 진행은 물론 다양한 분야에 대한 응용이 가능할 것으로 여겨진다. |
