| 초록 |
○ 연구개요 자연계에는 기체 속의 분자들과 10<sup>7</sup>~10<sup>14</sup>개의 항성들로 이루어진 은하같이 원자 및 분자 단위에서 천체 단위까지 모든 규모에서 입자의 수가 아주 큰 다입자계가 존재한다. 이러한 다입자계의 운동을 분석하기 위해 물리학자들은 통계학적 방법론을 도입하여 분포함수를 이용하여 다입자계를 기술하는 여러 가지 편미분방정식 모델을 유도하였다. 이렇게 유도된 방정식들은 주어진 물리적 상황에 맞게 보정이 되고 서로 연결이 되어 있다. 예를 들어 상대론적 편미분방정식은 빛의 상수를 포함하는 상수 c를 포함하고 있는데 빛의 상수 c를 무한대로 취하는 극한을 취하면(즉, 상대론적 효과가 거의 무시된다면) 비상대론적 모델 방정식을 “형식적으로” 얻을 수 있을 것이다. 비슷하게 평균장 극한, 준-고전극한 등을 통해서도 서로 다른 물리적 모델들을 “연결”할 수 있다. 이를 엄밀하게 증명하는 것은 수리물리학에서 중요한 연구과제이다. 본 연구과제에서는 이러한 수리물리문제를 최근 발전된 편미분방정식 이론을 적용하여 해결하고자 한다. 특히 편미분방정식 이론을 통해 밝혀진 특정 동역학을 가진 해에 초점을 맞춰 수렴과정을 연구하고자 한다. ○ 연구 목표대비 연구결과 본 연구과제는 3가지 세부과제로 구성이 되어 있다 (연구과제 1. 무한입자계의 동역학 / 작용소 방정식에 대한 연구, 연구과제2. 바닥상태의 수렴성에 대한 연구, 연구과제 3. 격자점에서의 비선형 슈뢰딩거 방정식의 수렴 문제). 연구과제 2와 관련해서는 타원방정식 이론 전문가들과 연구를 수행하여 계획했던 목표를 달성하였다고 평가한다. 이 주제와 관련하여 5편의 논문을 성과로 내었다(1편은 출판 예정). 연구과제 1를 수행하기 위해 여러 분야(조화해석학, 분산방정식, 타원방정식)의 연구자들과의 공동연구를 진행하였는데 이 세부과제는 새로운 주제를 소개하고 배우는 과정에 시간을 많이 할애하느라 효율성이 조금 떨어졌던 것 같습니다. 하지만 이 주제와 관련에서 2편의 논문을 출판하였습니다. 연구과제 3은 1년차 이후에 추가한 연구주제로 격자 방정식을 연구하기 위한 기본적인 조화해석학 도구를 개발하고 이를 적용하여 성과를 내었다. 이를 바탕으로 2편의 논문을 출판하고 2편을 투고하였다. ○ 연구개발결과의 중요성 본 연구과제에서는 수리물리에서 중요한 다입자계를 기술하는 여러 모델 방정식들사이의 수렴관계를 엄밀하게 증명하고자 하였다. 따라서 연구개발의 일차적인 응용결과로 물리학에서 형식적으로 유도된 모델들의 정당성을 수학적으로 엄밀하게 보장하는 것을 들 수 있다. 또한 이런 연구를 통해 수학이론에 있어서도 중요한 문제를 발굴하고 해결하여 순수수학 분야에도 기여할 것이라 기대한다. 다양한 수학이론 분야를 접목하여 진행함으로서 서로 다른 분야의 연구자들과의 학술교류를 촉진하고자한다. (출처 : 연구결과 요약문 2p) |
