| 초록 |
논문 Gaussian free field and conformal field theory에서 가우스 자유장을 기반으로 현 등각장론을 복소해석학과 확률론적 관점에서 엄밀히 정립하였다. 미분기하학의 리 미분 개념을 도입해서 스트레스 텐서와 워드 범함수를 정의하고, 이를 이용하여 워드 방정식을 비롯한 등각장론의 여러 중요한 방정식들을 유도하였다. 워드 방정식과 2차 퇴화 방정식을 이용하여, 현 등각장론과 현 슈람-뢰브너 전개 사이의 관계를 가장 일반적인 형태로 기술하고 증명하였다. 칼텍의 Makarov 교수와 공동으로 얻은 이 연구결과는 수학계의 정상급 학술지인 Astérisque에 viii+136페이지 단행본으로 출판되었다. 논문 Radial martingale observables에서 가우스 자유장의 중심 전하 변경으로 형성된 통계장을 기반으로 하는 방사상 등각장론을 연구하였다. 방사상 등각장론은 평면 상의 단순 연결 영역에서 내부점을 제외한 영역에서 정의된 등각장론으로 단순 연결 영역에서 내부점을 고정시키는 등각군에 의해 불변이다. 이 논문에서 일각작용소의 작용 아래 통계장의 상관관계함수가 방사상 슈람-뢰브너 마팅게일이 됨을 증명하였다. 다변수 꼭지점 장의 중립화 조건의 수학적 의미, 일각작용소의 해석학적 정의 등을 다루었고, 매개변수가 8/3인 방사상 슈람-뢰브너 전개가 방사상 선분들을 방문할 확률을 스트레스 텐서의 상관관계함수로 표현하였다. 논문 Conformal field theory of dipolar SLE with the Dirichlet boundary condition에서 디리클레 경계조건을 갖는 가우스 자유장의 중심 전하 변경을 기반으로 한 쌍극자 등각장론을 연구하였다. 이 등각장론의 특정한 통계장의 상관관계함수가 슈람-뢰브너 마팅게일이 됨을 증명하였다. 등각장론을 이용하여, 매개변수가 8/3인 쌍극자 슈람-뢰브너 전개의 국한 성질을 증명하였고 쌍극자 슈람-뢰브너 전개의 Friedrich-Werner 공식을 증명하였다. 논문 Conformal field theory of dipolar SLE(4) with mixed boundary condition에서 중심전하가 1이고 디리클레-노이만 경계 조건을 갖는 쌍극자 등각장론을 연구하였다. 디리클레-노이만 경계 조건을 갖는 가우스 자유장의 작용소 곱 전개 모임으로 구성된 통계장의 상관관계함수가 매개변수가 4인 쌍극자 슈람-뢰브너 마팅게일이 됨을 증명하였다. 논문 On a problem for Ward's equation with a Mittag-Leffler potential에서 워드 방정식이라 불리우는 비선형방정식의 해를 구하였다. 이 방정식은 확률 정규 행렬과 쿨롱 기체의 연구에서 자연스럽게 제기된 방정식이다. 이 논문에서 미타크-레플러 함수를 해로 갖는 워드방정식을 연구하였다. |
