| 초록 |
확률 과정 운동 (stochastic processes)이란 시간에 따라 일정한 분포를 가지고 불규칙적으로 움직이는 운동을 말한다. 간단한 예로 X를 시간 t 의 삼성증권 주식가격으로 놓을 수 있다. 가장 중요한 확률 과정운동은 대칭 알파 안정 운동(symmetric α-stable process)이다. 여기서 α는 0에서 2 사이 값을 가지며 α가 2일 경우, 우리는 브라운 운동(Brownian motion) Wt을 얻는다. 브라운 운동은 유일한 연속 대칭 안정 운동(continuous symmetric stable process)이며 현대 확률론에서 가장 중요한 역할을 해왔다. 하지만 많은 경우 브라운 운동은 더 이상 모델링이 적용될 수 없다는 것이 실험과 통계수치를 통해 입증되고 있다. 그 중요한 이유 중 하나는 실험과 통계수치를 통해 확률 과정 운동이 브라운 운동보다 분포에 있어서 두꺼운 꼬리 (Heavy trail)을 가진다는 것이다. 다시 말해서 양수 M 이 커지면 P ( |W t | gt; M )( |X t | gt; M ) 의 확률을 가진다. 그에 대한 해결책으로 본 연구자는 대칭 알파 안정 운동을 포함하는 비연속 운동에 대한 연구를 활발히 진행하였다. 비연속운동에 대한 연구는 안정 운동 분야를 넘어서, 비 안정 운동, Levy 운동을 연구하는 방향으로도 진행하였다. 특히 이러한 운동중 많은 중요한 Levy 운동을 포함하는 종속 브라운운동의 포텐셜이론의 난제들을 해결하였다. 이중 중요한결과들은 다음과같다. (1) 부분 공간에서 확률밀도 함수 근사치를 Δ+Δ α/2 와 Δ α/2 +Δ β/2 에 해당하는 Levy 운동에 대하여 구하였다. (2) Geometric 운동을 포함하는 종속 브라운 운동의 가장 중요한 포텐셜이론의 난제인 하낙 법칙과 경기하낙 법칙을 일반적인 형태로증명하였다. (3) 상대 안정 운동의 엄밀한 확률밀도 함수 근사치를 부분공간의 경우 모든 시간에 대하여 구하였다. (4) 종속 브라운 운동의 Perturbation 로 표현되는 Levy 운동의 그린 함수에 근사치를 엄밀히 도출하였다. (5) 반평면에서 종속 브라운 운동 대한 최소 두께법칙을 규명하였다. (6) 종속 브라운 운동의 두 조화 함수의 비가 비점근 수렴한다는 것을 증명하였다 |
